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高三數(shù)學(xué)對(duì)稱問(wèn)題篇一

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1、設(shè)點(diǎn)p（x，y）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱點(diǎn)為p（x，y），x=2a—x。

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y=2b—y。

2、點(diǎn)p（x，y）關(guān)于直線l：ax+by+c=o的對(duì)稱點(diǎn)為：

x=x—（ax+by+c）

p（x，y）則

y=y—（ax+by+c）

事實(shí)上：∵ppl及pp的中點(diǎn)在直線l上，可得：ax+by=—ax—by—2c。

解此方程組可得結(jié)論。

（—）=—1（b0）。

特別地，點(diǎn)p（x，y）關(guān)于：

1、x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為（x，—y）和（—x，y）。

2、直線x=a和y=a的對(duì)標(biāo)點(diǎn)分別為（2a—x，y）和（x，2a—y）。

3、直線y=x和y=—x的對(duì)稱點(diǎn)分別為（y，x）和（—y，—x）。

例1光線從a（3，4）發(fā)出后經(jīng)過(guò)直線x—2y=0反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)b（1，5），求射入y軸后的反射線所在的直線方程。

解：如圖，由公式可求得a關(guān)于直線x—2y=0的對(duì)稱點(diǎn)。

a（5，0），b關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)b為（—1，5），直線ab的方程為5x+6y—25=0。

`c（0，）。

`直線bc的方程為：5x—6y+25=0。

求已知曲線f（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線方程時(shí)，只須將曲線f（x，y）=o上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程f（x，y）=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。

1、曲線f（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)（a，b）的對(duì)稱曲線的方程是f（2a—x，2b—y）=0。

2、曲線f（x，y）=0關(guān)于直線ax+by+c=0對(duì)稱的曲線方程是f（x—（ax+by+c），y—（ax+by+c））=0。

特別地，曲線f（x，y）=0關(guān)于。

（1）x軸和y軸對(duì)稱的曲線方程分別是f（x，—y）和f（—x，y）=0。

（2）關(guān)于直線x=a和y=a對(duì)稱的曲線方程分別是f（2a—x，y）=0和f（x，2a—y）=0。

（3）關(guān)于直線y=x和y=—x對(duì)稱的曲線方程分別是f（y，x）=0和f（—y，—x）=0。

除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對(duì)函數(shù)y=f（x）的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)=f（|x|）的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f（x）|的圖象。

例2（全國(guó)高考試題）設(shè)曲線c的方程是y=x3—x。將c沿x軸y軸正向分別平行移動(dòng)t，s單位長(zhǎng)度后得曲線c1：

1）寫出曲線c1的方程。

2）證明曲線c與c1關(guān)于點(diǎn)a（，）對(duì)稱。

（1）解知c1的方程為y=（x—t）3—（x—t）+s。

（2）證明在曲線c上任取一點(diǎn)b（a，b），設(shè)b1（a1，b1）是b關(guān)于a的對(duì)稱點(diǎn)，由a=t—a1，b=s—b1，代入c的方程得：

s—b1=（t—a1）3—（t—a1）。

b1=（a1—t）3—（a1—t）+s。

b1（a1，b1）滿足c1的方程。

b1在曲線c1上，反之易證在曲線c1上的.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)a的對(duì)稱點(diǎn)在曲線c上。

曲線c和c1關(guān)于a對(duì)稱。

我們用前面的結(jié)論來(lái)證：點(diǎn)p（x，y）關(guān)于a的對(duì)稱點(diǎn)為p1（t—x，s—y），為了求得c關(guān)于a的對(duì)稱曲線我們將其坐標(biāo)代入c的方程，得：s—y=（t—x）3—（t—x）。

y=（x—t）3—（x—t）+s。

此即為c1的方程，`c關(guān)于a的對(duì)稱曲線即為c1。

曲線f（x，y）=0為（中心或軸）對(duì)稱曲線的充要條件是曲線f（x，y）=0上任意一點(diǎn)p（x，y）（關(guān)于對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)后方程不變。

例如拋物線y2=—8x上任一點(diǎn)p（x，y）與x軸即y=0的對(duì)稱點(diǎn)p（x，—y），其坐標(biāo)也滿足方程y2=—8x，`y2=—8x關(guān)于x軸對(duì)稱。

例3方程xy2—x2y=2x所表示的曲線：

a、關(guān)于y軸對(duì)稱b、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱。

c、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱d、關(guān)于直線x—y=0對(duì)稱。

解：在方程中以—x換x，同時(shí)以—y換y得。

（—x）（—y）2—（—x）2（—y）=—2x，即xy2—x2y=2x方程不變。

曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：

1、函數(shù)f（x）定義線為r，a為常數(shù)，若對(duì)任意xr，均有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱。

這是因?yàn)閍+x和a—x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱，且其函數(shù)值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由x的任意性可得結(jié)論。

例如對(duì)于f（x）若tr均有f（2+t）=f（2—t）則f（x）圖象關(guān)于x=2對(duì)稱。若將條件改為f（1+t）=f（3—t）或f（t）=f（4—t）結(jié)論又如何呢？第一式中令t=1+m則得f（2+m）=f（2—m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2—m），所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：

2、函數(shù)f（x）定義域?yàn)閞，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意xr均有f（a+x）=f（b—x），則其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱。

我們?cè)賮?lái)探討以下問(wèn)題：若將條件改為f（2+t）=—f（2—t）結(jié)論又如何呢？試想如果2改成0的話得f（t）=—f（t）這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）成中心對(duì)稱，現(xiàn)在是f（2+t）=—f（2—t）造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于m（2，0）成中心對(duì)稱。如圖，取點(diǎn)a（2+t，f（2+t））其關(guān)于m（2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為a（2—x，—f（2+x））。

∵—f（2+x）=f（2—x）`a的坐標(biāo)為（2—x，f（2—x））顯然在圖象上。

圖象關(guān)于m（2，0）成中心對(duì)稱。

若將條件改為f（x）=—f（4—x）結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：

3、f（x）定義域?yàn)閞，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意xr均有f（a+x）=—f（b—x），則其圖象關(guān)于點(diǎn)m（，0）成中心對(duì)稱。

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