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定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇一
湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書
我們把形如(為常數(shù))
或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型
例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)
已知正整數(shù)，求證
.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)
數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖
1即，因為，所以.所以
.例2求證
.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)
在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個矩形的面積之和
小于曲邊梯形的面積，圖
2即，所以
.例3證明。
證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間
上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可
個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖
3即
.所以
.二、型
例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項為前
項之和，中間的的數(shù)列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)
可當(dāng)作是某數(shù)列的前
列的通項不等式
成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因為，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間
上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩
個矩形面積之間，即，而，故不等式
成立，從而所證不等式成立.圖
4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)
處的切線方程為
.的圖象在點
（?。┯帽硎境觯áⅲ┤?；
在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；
（ⅲ）證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式
列的前項之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為
左邊是通項為的數(shù)列的前項之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時，此式適合，故只要證當(dāng)
時，即，也就是要證
.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面
積，即
.圖
5而
故原不等式成立.，所以，點評本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個新方法新亮點，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，精彩的解法不是空穴來風(fēng)而是理性思維的必然結(jié)果.作者簡介：鄒生書，男，1962年12月出生，湖北陽新縣人.現(xiàn)任教于陽新縣高級中學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，黃石市骨干教師.近四年來在《數(shù)學(xué)通訊》、《數(shù)學(xué)通報》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)教研》、《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《河北理科教學(xué)研究》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化解題研究》等近二十種期刊上發(fā)表教學(xué)教研文章百余篇，在人教網(wǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)欄目發(fā)表文章二十多篇.
定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇二
利用定積分證明數(shù)列和型不等式
我們把形如(為常數(shù)或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù)型，求證例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題已知正整數(shù)
.分析 這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間 并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函數(shù)圖象可上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1
即，因為，所以.所以.例2 求證
.證明 構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)在和小于曲邊梯形的面積，又，上的個矩形的面積之
上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間
圖
2即，所以
.例
3證明。
證明
構(gòu)造函數(shù)區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可知，在個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3 即
.所以
.二、型
例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為項之和，中間的通項不等式的數(shù)列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時這三個數(shù)列的可當(dāng)作是某數(shù)列的前
成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因為，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式
成立，從而所證不等式成立.例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為（?。┯帽硎境觯áⅲ┤?； 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；.的圖象在點（ⅲ）證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明
（ⅲ）不等式項之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為的數(shù)列的前項之和，此式適合即，左邊是通項為，則當(dāng)，故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的前時，時，也就是要證
由此構(gòu)造函數(shù)積，即，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面
.圖5
而立.，所以，故原不等式成
定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇三
利用定積分證明數(shù)列和型不等式
我們把形如(為常數(shù))
或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型
例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)
已知正整數(shù)，求證
.分析這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明構(gòu)造函數(shù)
數(shù)圖象可知，在區(qū)間并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖
1即，因為，所以.所以
.例2求證
.證明構(gòu)造函數(shù)而函數(shù)
在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個矩形的面積之和
小于曲邊梯形的面積，圖
2即，所以
.例3證明。
證明構(gòu)造函數(shù)知，在區(qū)間
上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖3可
個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖
3即
.所以
.二、型
例4若，求證:.證明不等式鏈的左邊是通項為前
項之和，中間的的數(shù)列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)
可當(dāng)作是某數(shù)列的前
列的通項不等式
成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因為，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間
上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩
個矩形面積之間，即，而，故不等式
成立，從而所證不等式成立.圖
4例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)
處的切線方程為的圖象在點
.（?。┯帽硎境觯áⅲ┤?；
在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；
（ⅲ）證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式
列的前項之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為
左邊是通項為的數(shù)列的前項之和，則當(dāng)?shù)臄?shù)時，此式適合，故只要證當(dāng)
時，即，也就是要證
.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面
積，即
.圖5
而
故原不等式成立.，所以，
定積分不等式的證明 證明定積分的不等式篇四
利用定積分證明數(shù)列和型不等式
我們把形如(為常數(shù))或的不等式稱之為數(shù)列和型不等式，這類不等式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中，由于證明難度較大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果.下面舉例說明供參考.一、(為常數(shù))型
例1(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題)已知正整數(shù)，求證
.分析
這是一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強的不等式，這個不等式是怎么來的令人費解.若由所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求解.證明 構(gòu)造函數(shù)數(shù)圖象可知，在區(qū)間
并作圖象如圖1所示.因函數(shù)在上是凹函數(shù)，由函
上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖1 即，因為，所以.所以
.例2 求證
.證明 構(gòu)造函數(shù)
而函數(shù)在，又，上是凹函數(shù)，由圖象知，在區(qū)間上的個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖
2即，所以.例3 證明。
證明 構(gòu)造函數(shù)可知，在區(qū)間 上，因，又其函數(shù)是凹函數(shù)，由圖
3個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖3
即
.所以
.二、型
例4 若，求證:.證明 不等式鏈的左邊是通項為前項之和，中間的的數(shù)列的前項之和，右邊通項為項之和.故只要證當(dāng)?shù)臄?shù)列的時這三個數(shù)
可當(dāng)作是某數(shù)列的前列的通項不等式
成立即可.構(gòu)造函數(shù)，因為，作的圖象，由圖4知，在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長，以左右端點對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式
成立，從而所證不等式成立.圖4
例5（2010年高考湖北卷理科第21題）已知函數(shù)處的切線方程為
（?。┯帽硎境?；
.的圖象在點（ⅱ）若 在內(nèi)恒成立，求的取值范圍；
（ⅲ）證明:
.本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲，具有綜合性強、難度大、思維含金量高、區(qū)分度大等特點.這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證明.證明（ⅲ）不等式數(shù)列的前項之和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項為
左邊是通項為的數(shù)列的前項之和，則當(dāng)?shù)臅r，此式適合，故只要證當(dāng) 時，即，也就是要證
.由此構(gòu)造函數(shù)，并作其圖象如圖5所示.由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即
.圖
5而，所以，故原不等式成立.點評 本解法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作.積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個新方法新亮點，很值得品味.由例4例5可知，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題，這樣才能化繁為簡、化難為易，
