在日常的學習、工作、生活中，肯定對各類范文都很熟悉吧。寫范文的時候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？接下來小編就給大家介紹一下優(yōu)秀的范文該怎么寫，我們一起來看一看吧。

證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必可積篇一

§1. 關(guān)于實數(shù)的基本定理

一 子列 定義1 在數(shù)列 embed 4 中，保持原來次序自左至右任一選區(qū)無限多項，構(gòu)成新的數(shù)列，就稱為 embed 4 的子列，記為 embed 4 。 子列的極限和原數(shù)列的'極限的關(guān)系

定理1 embed 4 若 embed 4 ，則 embed 4 的任何子列 embed 4 都收斂，并且它的極限也等于 embed 4 。

注：該定理可用來判別 embed 4 不收斂。 例：證明 embed 4 不收斂。

推論：若對任何 embed 4 ： embed 4 都有 embed 4 收斂，則 embed 4 在 embed 4 的極限存在。

二 上確界和下確界 上確界的定義，下確界的定義

定理2 非空有上界數(shù)集必有上確界;非空有下界數(shù)集必有下確界。

定理3 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.

三 區(qū)間套定理 區(qū)間套: 設(shè) embed 4 是一閉區(qū)間序列. 若滿足條件

ⅰ> 對 embed 4 , 有 embed 4 embed 4 embed 4 ;

ⅱ> embed 4 embed 4 .

則稱該閉區(qū)間序列為為區(qū)間套 .

注：區(qū)間套是指一個 “閉、縮、套” 區(qū)間列.( 都不是).

例： embed 4 和 embed 4 都是區(qū)間套.但 embed 4

定理4設(shè) embed 4 是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點 embed 4 屬于所有的區(qū)間。

注：區(qū)間套中的任何一個條件去掉，定理一般將不成立。

四 致密性定理

定理5 任一有界數(shù)列必有收斂子列。

推論 若 embed 4 是一個無界數(shù)列，則存在子列 embed 4 。

五 cauchy收斂原理

定理6 數(shù)列 embed 4 收斂 embed 4 embed 4 當 embed 4 時，有 embed 4 。

注：定理可通過數(shù)列本身來判別它收斂還是發(fā)散。

例：設(shè) embed 4 ，證明 embed 4 發(fā)散。

例：設(shè) embed 4 ，證明 embed 4 收斂。

六 有限覆蓋定理 復蓋: 先介紹區(qū)間族 embed 4 .

定義 (復蓋 )：設(shè) embed 4 是一個數(shù)集, embed 4 是區(qū)間族.若對 embed 4 使得 embed 4 , 則稱區(qū)間族 embed 4 復蓋了 embed 4 , 或稱區(qū)間族 embed 4 是數(shù)集 embed 4 的一個復蓋. 記為 embed 4 若每個 embed 4 都是開區(qū)間，則稱區(qū)間族 embed 4 是開區(qū)間族.開區(qū)間族常記為 embed 4 .

定義 (開復蓋 )：數(shù)集 embed 4 的一個開區(qū)間族復蓋稱為 embed 4 的一個開復蓋,簡稱為 embed 4 的一個復蓋.

子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.

例： embed 4 復蓋了區(qū)間 embed 4 , 但不能復蓋 embed 4 。

定理7 閉區(qū)間 embed 4 的任一開復蓋必有有限子復蓋。

注：在定理的條件中，若 embed 4 不是開區(qū)間集，或 embed 4 為非閉區(qū)間，則從 embed 4 中就不一定能選出有限個區(qū)間來覆蓋。

§2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

一 有界性定理 定理1 閉區(qū)間 embed 4 上的連續(xù)函數(shù)必定有界。

注：開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)既可能有界，也可能無界。

二 最大值和最小值定理 定理2 閉區(qū)間 embed 4 上的連續(xù)函數(shù)必定有最大值和最小值。

三 零點存在定理 定理3 embed 4 在閉區(qū)間 embed 4 連續(xù)，且 embed 4 ，則 embed 4 在 embed 4 內(nèi)至少有一個根。

證法一(用區(qū)間套定理); 證法二(用確界原理); 證法三 (用有限復蓋定理)。

四 一致連續(xù)性定理 定理4 閉區(qū)間 embed 4 上的連續(xù)函數(shù) embed 4 必定一致連續(xù)。

證法一 (用區(qū)間套定理); 證法二 (用致密性定理)。

武夷學院經(jīng)濟與數(shù)學系 《數(shù)學分析》 授課教案