
已知:如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點,點F在CD上,∠FAE=∠BAE.求證:AF=BC+FC.
已知:如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點,點F在CD上,∠FAE=∠BAE.求證:AF=BC+FC.
證明:過E點作EG⊥AF,垂足為G,
∵∠BAE=∠EAF,∠B=∠AGE=90°,
又∠BAE=∠EAF,即AE為角平分線,EB⊥AB,EG⊥AG,
∴BE=EG,
在Rt△ABE和Rt△AGE中,
∵
BE=EG
AE=AE ,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴AG=AB,
同理可知CF=GF,
∴AF=BC+FC.
正方形的定義:
有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
特殊的長方形。
四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形叫做正方形。
有一組鄰邊相等的矩形是正方形。
有一個角為直角的菱形是正方形。
對角線平分且相等,并且對角線互相垂直的四邊形為正方形。
對角線相等的菱形是正方形。
正方形的性質:
1、邊:兩組對邊分別平行;四條邊都相等;相鄰邊互相垂直
2、內角:四個角都是90°;
3、對角線:對角線互相垂直;對角線相等且互相平分;每條對角線平分一組對角;
4、對稱性:既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形(有四條對稱軸);
5、正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質;
6、特殊性質:正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形,對角線與邊的夾角是45°;
正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形;
7、在正方形里面畫一個最大的圓,該圓的面積約是正方形面積的78.5%;
正方形外接圓面積大約是正方形面積的157%。
8、正方形是特殊的長方形。
正方形的判定:
判定一個四邊形為正方形的一般順序如下:先證明它是平行四邊形,再證明它是菱形(或矩形),最后證明它是矩形(或菱形)。
1:對角線相等的菱形是正方形。
2:有一個角為直角的菱形是正方形。
3:對角線互相垂直的矩形是正方形。
4:一組鄰邊相等的矩形是正方形。
5:一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。
6:對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。
7:對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形。
8:一組鄰邊相等,有三個角是直角的四邊形是正方形。
9:既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
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